Question

已知雙曲線C的中心為坐標原點O，焦點F₁、F₂在x軸上，點P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e；
（Ⅱ）若雙曲線C過點Q（2，），B₁、B₂是雙曲線虛軸的上、下端點，點A、B是雙曲線上不同的兩點，且，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出雙曲線的標準方程，表示出兩焦點的坐標，根據(jù)判斷出四邊形OMPF₁為菱形進而根據(jù)定義求得=2a+||，根據(jù)|PM|=c求得a和c的關(guān)系，求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）根據(jù)（1）可求得橢圓a和c的關(guān)系，把點Q代入雙曲線方程求得a和b，則雙曲線方程可得．根據(jù)推斷出A、B₂、B三點共線．進而根據(jù)求得進而設(shè)出直線AB的方程，進而表示出直線B₁B的方程進而求得B點坐標代入雙曲線方程求得k，則直線AB的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的方程為
∵
∴四邊形OMPF₁為菱形
∴∴∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b²=c²-a²=3a²，
∴
∴∴
∵，∴A、B₂、B三點共線．∵
①當直線AB垂直x軸時，不合題意．
②當直線AB不垂直x軸時，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可設(shè)直線AB的方程為y=kx-3，①∴直線B₁B的方程為②
由①，②知，代入雙曲線方程得，
故直線AB的方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，向量的基本運算等．設(shè)直線方程時一定要考慮直線的斜率是否存在．