Question

（2005•海淀區二模）將函數f(x)=

4-x2 (-2≤x≤0) 2-x(0＜x≤2)

的圖象繞x軸旋轉一周所得幾何體的表面積為

(8+4

2

)π

；其體積為

8π

．

Answer 1

分析：作出函數f（x）的圖象，得到圖象是由圓心角為直角的扇形AOB和線段BC構成，從而得到f（x）的圖象繞x軸旋轉一周，所得幾何體是由半球和圓錐組合而成的幾何體．由此結合題中的數據加以計算，可得本題答案．

解答：解：根據題意，作出圖象，可得
函數f(x)=

4-x2 (-2≤x≤0) 2-x(0＜x≤2)

的圖象是由圓心角為直角的扇形AOB
和線段BC構成，其中A（-2，0），B（0，2），C（2，0）
因此，該圖象繞x軸旋轉一周，所得幾何體是由半球和圓錐組合而成
半球的半徑R=2，圓錐的底面半徑為2，高等于2且母線長等于2

2

∵S_半球=

1

2

×4π×2²=8π，S_圓錐側=π×2×2

2

=4

2

π
∴所得幾何體的表面積為S=S_半球+S_圓錐側=(8+4

2

)π
又∵V_半球=

1

2

×

4π

3

×23=

16π

3

，V_圓錐=

1

3

×π×2²×2=

8π

3

∴所得幾何體的體積為V=V_半球+V_圓錐=

16π

3

+

8π

3

=8π
故答案為：(8+4

2

)π；8π

點評：本題將分段函數的圖象繞x軸旋轉一周，求旋轉成的幾何體的表面積和體積．著重考查了球和圓錐的表面積公式、體積公式和函數圖象的作法等知識，屬于中檔題．