Question

已知多項式.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）試探求對一切整數n，是否一定是整數？并證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）先用數學歸納法證明：對一切正整數n，是整數.
①當n=1時，,結論成立.
②假設當n=k（k≥1，k∈N）時，結論成立，即是整數，則當n=k+1時，

=
根據假設是整數，而顯然是整數.
∴是整數，從而當當n=k+1時，結論也成立.
由①、②可知對對一切正整數n，是整數. ……………………………………………7分
（Ⅱ）當n=0時，是整數.……………………………………………………8分
(Ⅲ)當n為負整數時，令n= -m，則m是正整數，由（1）是整數，
所以
=是整數.
綜上，對一切整數n，一定是整數.………………………………………10分

略