Question

（本小題滿分12分）

已知函數f (x)是正比例函數，函數g (x)是反比例函數，且f(1)＝1，g(1)＝2，

(1)求函數f (x)和g(x)；

(2)判斷函數f (x)＋g(x)的奇偶性．

(3)求函數f (x)＋g(x)在(0，]上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)＝x，g(x)＝.(2)函數f(x)＋g(x)是奇函數．

(3)函數f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.

【解析】本試題主要是考查了函數的奇偶性和函數的解析式以及函數的最值的綜合運用。

（1）設f(x)＝k₁x，g(x)＝，其中k₁k₂≠0然后結合已知中點的坐標的，餓到結論。

（2）設h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝x＋，

∴函數h(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)得到證明。

（3）由(2)知h(x)＝x＋，設x₁，x₂是(0，]上的任意兩個實數，且x₁<x₂，，然后運用定義法得到單調性，確定最值。

解：(1)設f(x)＝k₁x，g(x)＝，其中k₁k₂≠0.

∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k₁×1＝1，＝2.

∴k₁＝1，k₂＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝.

(2)設h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝x＋，

∴函數h(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，

∴函數h(x)是奇函數，即函數f(x)＋g(x)是奇函數．

(3)由(2)知h(x)＝x＋，設x₁，x₂是(0，]上的任意兩個實數，且x₁<x₂，

則h(x₁)－h(x₂)＝(x₁＋)－(x₂＋)＝(x₁－x₂)＋(－)

＝(x₁－x₂)(1－)＝，

∵x₁，x₂∈(0，]，且x₁<x₂，∴x₁－x₂<0,0<x₁x₂<2.

∴x₁x₂－2<0，(x₁－x₂)(x₁x₂－2)>0.

∴h(x₁)>h(x₂)．

∴函數h(x)在(0，]上是減函數，函數h(x)在(0，]上的最小值是h()＝2.

即函數f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.