Question

已知函數g（x）=

1

xsinθ

+lnx在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（0，π），f（x）=mx-

m-1

x

-lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，結合θ∈（0，π），可以得到θ的值．
（2）由題設條件知(f(x)-g(x))′=

mx2-2x+m

x2

．mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知m≥

2x

1+x2

，由此可知m的取值范圍．
（3）構造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．由此入手可以得到m的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

解答：解：（1）由題意，g′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx．
∴(f(x)-g(x))′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在其定義域內為單調函數，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx²-2x+m≥0等價于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，（

2

x+ 1 x

）_max=1，∴m≥1．mx²-2x+m≤0等價于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，而

2x

x2+1

∈（0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）構造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．
當m≤0時，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
所以在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
當m＞0時，(F(x))′=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

．
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調遞增，F(x)max=F(e)=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．