Question

已知函數.
（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數a的值；
（2）求證：≥0恒成立的充要條件是；
（3）若，且對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）－2；（2）見解析；（3）.

(1)根據函數f(x)在x=1處的導數值為3,建立關于a的方程求出a的值.
(2)證充要條件：要從兩個方面進行證明：（i）充分性.（ii）必要性.
(3)由（2）知 當a<0時，函數f(x)在上是增函數，又函數在是減函數.
從面確定不妨設，則,

然后利用導數解決.
解：所以曲線在x=1處切線的斜率為..
（2）①充分性

所以當
上是增函數，當，所以函數在（0,1）上是減函數，所以
②必要性

（i）當時，恒成立，所以函數在（0，+）上是增函數.而，所以當
綜上所述，恒成立的充要條件是a=1.
（3）由（2）可知
當a<0時，函數f(x)在上是增函數，又函數在是減函數.
不妨設，則