Question

（2010•朝陽區二模）設函數f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）當x∈[0，

2π

3

]時，求函數f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角公式已經兩角差的余弦函數化簡表達式，然后應用兩角差的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的系數，利用周期公式求函數f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）根據x∈[0，

2π

3

]，利用（Ⅰ）求出2x-

π

3

的范圍，利用正弦函數的最大值直接求函數f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）
=sin2x-（cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

），
所以f（x）=sin（2x-

π

3

）．
函數f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因為x∈[0，

2π

3

]，所以2x-

π

3

∈[-

π

3

，π]．
所以，當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，sin（2x-

π

3

）=1，
函數f（x）的最大值為1．…（13分）

點評：本題是中檔題，考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數，函數的周期以及函數的最大值的求法，考查計算能力．