Question

已知函數f(x)=

x3

3

-

a+1

2

x2+bx+a，其導函數f′（x）的圖象經過原點．
（1）若存在x₀∈（-∞，0），使曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線的斜率等于-4，求a的取值范圍；
（2）當a＞0時，求f（x）的零點的個數．

Answer 1

分析：（1）由已知f'（0）=0，得出b=0，進而求出函數f′（x）的表達式．再利用導數的幾何意義，可得出a=x0+

4

x0

-1，利用基本不等式即可求出a的取值范圍；
（2）利用導函數=0，列出表格如表，利用極值、單調性和函數零點的判斷方法即可判斷出零點的個數．

解答：解：f'（x）=x²-（a+1）x+b，由f'（0）=0，∴b=0，∴f'（x）=x²-（a+1）x．
（1）當x₀＜0時，f′(x0)=

x

2 0

-(a+1)x0=-4，
∴a=x0+

4

x0

-1=-(-x0+

4

-x0

)-1≤-2

(-x0)× 4 -x0

-1=-5，當且僅當-x0=

4

-x0

，x₀＜0，解得x₀=-2時取等號；
∴a的取值范圍是（-∞，-5]．
（2）f'（x）=x²-（a+1）x．=x[x-（a+1）]，令f^′（x）=0，解得x=0，或a+1，
∵a＞0，∴a+1＞0，列表如下：
∴f（x）在（-∞，0]上遞增，在[0，a+1]上遞減，又在[a+1，+∞）上遞增，
而f(-a-1)=-

5

6

(a+1)3+a=-

5

6

a3-

5

2

a2-

3

2

a-

5

6

＜0，f（0）=a＞0，f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0f[(a+2)2]=(a+2)4(

1

3

a2+

5

6

a+

5

6

)+a＞0，
又-a-1＜0＜a+1＜（a+2）²，
故f（x）在（-a-1，0），（0，a+1），（a+1，（a+2）²）內各有一個零點，所以f（x）共有3個零點．

點評：本題考查了導數的綜合應用，正確理解導數的幾何意義和熟練掌握導數求出函數的極值與單調性及函數零點的判斷方法是解題的關鍵．