Question

已知m為實常數(shù)．命題p：方程

x2

2m

-

y2

m-6

=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：方程

x2

m+1

+

y2

m-1

=1表示雙曲線．
（1）若命題p為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題q為假命題，求m的取值范圍；
（3）若命題p或q為真命題，且命題p且q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知命題p為真命題時，-（m-6）＞2m＞0，解不等式組可得m的取值范圍；
（2）根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知命題q為真命題時，（m+1）•（m-1）＜0，解不等式可得m的取值范圍；
（3）若命題p或q為真命題，且命題p且q為假命題，則兩個命題一真一假，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，分類討論可得m的取值范圍．

解答：解：（1）據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：
命題p為真命題時，-（m-6）＞2m＞0，
解之得0＜m＜2；
故命題p為真命題時m的取值范圍為（0，2）；…（4分）
（2）根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，
若命題q為真命題，則（m+1）（m-1）＜0，
解得-1＜m＜1，
故命題q為假命題時m的取值范圍（-∞，-1]∪[1，+∞）；…（9分）
（3）由題意，命題p與q一真一假，
當(dāng)p真q假時有

0＜m＜2 m≤-1，或m≥1

解得1≤m＜2
當(dāng)p假q真時有

-1＜m＜1 m≤0，或m≥2

解得-1＜m≤0
綜上m的取值范圍是（-1，0]∪[1，2）．…（14分）

點評：本題又命題的真假判斷為載體考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)圓錐曲線方程的特點分別求出命題p，q為真時，參數(shù)m的取值范圍是解答的關(guān)鍵．