Question

已知函數y=f（x）是偶函數，y=g（x）是奇函數，它們的定義域為[-8，8]且它們在[0，8]上的圖象如圖所示，則關于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集為

 

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Answer 1

分析：由已知條件，結合奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，可以判斷出函數y=f（x）與y=g（x）在區間[-8，8]中的符號，進而得到不等式f（x）•g（x）＜0的解集．

解答：解：由圖象可得在區間（0，8）上，g（x）＜0恒成立，
又∵y=g（x）是奇函數，圖象關于原點對稱，
∴在區間（-8，0）上，g（x）＞0恒成立，
又∵在區間（0，2）上，f（x）＜0，在區間（2，8）上，f（x）＞0，
∵y=f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱，
∴在區間（-8，-2）上，f（x）＞0，在區間（-2，0）上，f（x）＜0，
∵不等式f（x）•g（x）＜0，
∴f（x）與g（x）異號，
∴當x∈（-2，0）上，g（x）＞0，f（x）＜0，
當x∈（2，8）上，g（x）＜0，f（x）＞0，
∴不等式f（x）•g（x）＜0的解集為（-2，0）∪（2，8）．
故答案為：（-2，0）∪（2，8）．

點評：本題考查了抽象函數及其應用求解不等式的問題，綜合考查了函數奇偶性和單調性的應用，要熟練掌握函數的性質的綜合應用．對于偶函數，要注意運用偶函數在對稱區間上單調性相反的性質，奇函數在對稱區間上單調性相同．考查了數形結合的數學思想方法的運用．屬于中檔題．