Question

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若棱上存在一點(diǎn)，使得，

當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

以所在直線分別為軸，軸，軸建系

（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：(I)（Ⅰ）連接BD交AC于點(diǎn)O

∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD

又∵AD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD

∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD

∴AC⊥A₁B。

以所在直線分別為軸，軸，軸建系

（Ⅱ）∵   ∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，

令則，，

∴ 6分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,

 

∴   8分

       10分

∴    12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題。本題利用空間向量知識(shí)解答，關(guān)鍵點(diǎn)是建立適當(dāng)?shù)乜臻g直角坐標(biāo)系。