Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意實數x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+

1

2

，且f（

1

2

）=0，當x＞

1

2

時，f（x）＞0．給出以下結論：①f（0）=-

1

2

；②f（-1）=-

3

2

；③f（x）為R上減函數；④f（x）+

1

2

為奇函數；⑤f（x）+1為偶函數．其中正確結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：由題意采用賦值法，可解決①②，在此基礎上繼續對各個選項逐一驗證可得答案．

解答：解：由題意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+

1

2

，即f（0）=-

1

2

，故①正確；
取x=

1

2

，y=-

1

2

代入可得f（0）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）+

1

2

，即-

1

2

=0+f（-

1

2

）+

1

2

，解得f（-

1

2

）=-1，
再令x=y=-

1

2

代入可得f（-1）=f（-

1

2

）+f（-

1

2

）+

1

2

=-2+

1

2

=-

3

2

，故②正確；
令y=-x代入可得-

1

2

=f（0）=f（x）+f（-x）+

1

2

，即f（x）+

1

2

+f（-x）+

1

2

=0，故f（x）+

1

2

為奇函數，④正確；
取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+

1

2

，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+

1

2

=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）為R上減函數，錯誤；
⑤錯誤，因為f（x）+1=f（x）+

1

2

+

1

2

，由③可知g（x）=f（x）+

1

2

為奇函數，故g（-x）+

1

2

-g（x）-

1

2

=-2g（x）不恒為0，
故函數f（x）+1不是偶函數
故答案為：①②④

點評：本題考查命題真假的判斷，熟記函數的性質的綜合應用，屬中檔題．