Question

(本小題滿分13分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD^底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點，作EF^PB交PB于點F，

 

(1)求證：PA//平面EDB；

(2)求證：PB^平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小。

 

Answer 1

【答案】

解：如右圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC＝1。

 

 

 

(1)證明：連結AC, AC交BD于點G，連結EG.

依題意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0，，).

因為底面ABCD是正方形，所以點G是此正

方形的中心，故點G的坐標為(，，0)，

且＝(1,0,-1)，＝(,0,- ).

所以＝2，即PA//EG.

而EGÌ平面EDB, 且PAË平面EDB,

因此PA//平面EDB.……………………4分

(2)證明：依題意得

B(1, 1, 0)，＝(1,1, -1)

又＝(0, , )，

故×＝0＋－＝0，所以PB^DE.

由已知EF^PB，且EF∩DE＝E，所以PB^平面EFD.………………8分

(3)解：已知PB^EF，由(2)可知PB^DF，故ÐEFD是二面角C-PB-D的平面角，設點F的坐標為(x，y，z)，則＝(x, y, z–1).

因為＝k，

所以(x, y, z-1)＝k(1, 1, -1)＝(k, k, -k)，即x＝k，y＝k，z＝1-k.

因為•＝0，

所以(1, 1, -1) • (k, k, 1-k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0.

所以k＝，點F的坐標為(,, ).

又點E的坐標為(0, , ).

所以＝(－，，–).

 

 

 

所以ÐEFD＝60°，即二面角C-PB-D的大小為60°。………………13分

【解析】略