Question

已知三條直線(xiàn)l₁:2x-y+a=0(a＞0),直線(xiàn)l₂:-4x+2y+1=0和直線(xiàn)l₃:x+y-1=0，且l₁與l₂的距離是.

(1)求a的值.

(2)求l₃到l₁的角θ.

(3)能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到l₁的距離是P點(diǎn)到l₂的距離的;③P點(diǎn)到l₁的距離與P點(diǎn)到l₃的距離之比是∶?若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

剖析：求解本題的必需工具是三個(gè)公式：平行直線(xiàn)間的距離公式，直線(xiàn)到直線(xiàn)的“到角”公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.其中第(3)問(wèn)應(yīng)解一個(gè)由①②③建立起來(lái)的方程組.

解：(1)l₂即2x-y-=0,∴l(xiāng)₁與l₂的距離d==.

    ∴=.

    ∴|a+|=.

    ∵a＞0,∴a=3.

    (2)由(1)，l₁即2x-y+3=0,∴k₁=2.

    而l₃的斜率k₃=-1,

    ∴tanθ== =-3.

    ∵0≤θ≤π,∴θ=π-arctan3.

    (3)設(shè)點(diǎn)P(x₀,y₀),若P點(diǎn)滿(mǎn)足條件②，則P點(diǎn)在與l₁、l₂平行的直線(xiàn)l′:2x-y+c=0上.且=,即c=或c=.

    ∴2x₀-y₀+=0或2x₀-y₀+=0.

    若P點(diǎn)滿(mǎn)足條件③，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，有=×,

    即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|.

    ∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0.

    由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能.

    聯(lián)立方程2x₀-y₀+=0和x₀-2y₀+4=0,解得

    由得

    ∴P(,)即為同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件的點(diǎn).