Question

請同學們利用導數知識求和S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0,n∈N^*).

Answer 1

思路:本題采用逆向思維,構造S_n的原函數,這里通過通項公式nx^n-1可發現:(xⁿ)′=nx^n-1,同時注意對x的分類討論.

探究:當x=1時,S_n=1+2+3+…+n=;

當x≠1時,∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

∴(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′=.

∴S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=.