Question

已知函數f（x）=

4x

x2+a

．
在探究a=1時，函數f（x）在區間[0，+∞）上的最大值問題．為此，我們列表如下

y	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，解答以下兩個問題．
（1）寫出函數f（x）在[0，+∞）（a=1）上的單調區間；指出在各個區間上的單調性，并對其中一個區間的單調性用定義加以證明．
（2）寫出函數f（x）（a=1）的定義域，并求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）結合題中所給的表格可得函數f（x）在[0，+∞）（a=1）上的單調增區間和單調減區間．再利用函數的單調性的定義證明函數f（x）在[1，+∞）
上單調遞減．
（2）由于a=1時，函數f（x）=

4x

x2+1

的定義域為R，當x＞0時，利用基本不等式求得f（x） 的值域，當x＜0時，根據-f（x）=

4

(-x)+( 1 -x )

，利用
基本不等式求得函數f（x）的值域，再結合f（0）=0，綜合可得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）結合題中所給的表格可得函數f（x）在[0，+∞）（a=1）上的單調增區為[0，1]，單調減區間為[1，+∞）．
下面證明當a=1時，函數f（x）=

4x

x2+1

的單調減區間為[1，+∞）．
設x₂＞x₁≥1，則 f（x₂）-f（x₁）=

4x2

x22+1

-

4x1

x12+1

=

4x2(x12+1)-4x1(x22+1)

(x22+1)(x12+1)

=

4(x2-x1)(1-x1•x2)

(x22+1)(x12+1)

．
由題設可得，x₂-x₁＞0，1-x₁•x₂＜0，(x2+1)2＞0，(x1+1)2＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），故函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，
即函數f（x）單調減區間為[1，+∞）．
（2）由于a=1時，函數f（x）=

4x

x2+1

的定義域為R，當x＞0時，f（x）=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

≤

4

2

=2，
當且僅當x=1時，取得等號，故此時函數的值域為（0，2]．
當x＜0時，∵-f（x）=

4

(-x)+( 1 -x )

≤

4

2

=2，∴f（x）≥-2，
當且僅當x=-1時，取得等號，故此時函數的值域為[-2，0），
顯然，當x=0時，函數f（x）=0．
綜上可得，函數f（x）的值域為[-2，2]．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，利用基本不等式求函數的值域，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．