Question

橢圓G：的兩個焦點、，M是橢圓上一點，且滿足．                                    
（1）求離心率的取值范圍；
（2）當離心率取得最小值時，點到橢圓上的點的最遠距離為；
①求此時橢圓G的方程；
②設斜率為（）的直線與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問：A、B兩點能否關于過點、Q的直線對稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

(1)
(2)

解：（1）離心率的的取值范圍是；
（2）①當離心率的取最小值時，橢圓的方程可表示為。
設是橢圓上的一點，則其中。
若，則當時，有最大值所以解得（均舍去）。
若，則當時，有最大值所以解得
∴所求橢圓方程為；
②設，則由兩式相減得……. ①
又直線⊥直線∴直線的方程為，將坐標代入得……. ②
由①②解得，而點Q必在橢圓得內部，∴，由此可得，又∴
故當時，A,B兩點關于過點P,Q得直線對稱.）