Question

在下列區間中，函數f（x）=x³-3x+1的零點所在的區間是（　　）

A．（1，2）

B．（2，3）

C．（3，4）

D．（4，5）

Answer 1

分析：利用導數研究函數的單調性，得函數在區間（1，+∞）上為增函數，再分別求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，并結合零點存在性定理，不難得到本題的答案．

解答：解：∵f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0；當-1＜x＜1時，f'（x）＜0
可得函數在區間（-∞，-1）和（1，+∞）上為增函數；在區間（-1，1）上是減函數
函數的極大值f（-1）=-1+3+1=3＞0，極小值f（1）=1-3+1=-1＜0，
∴函數在區間（-∞，-1）、（-1，1）、（1，+∞）上各有一個零點
∵f（1）=-1＜0，f（2）=8-6+1=3＞0，f（3）＞0、f（4）＞0且f（5）＞0
∴函數在（1，2）上有一個零點，而在（2，3）、（3，4）、（4，5）上均沒有零點
故選：A

點評：本題給出三次多項式函數，求它的一個含有零點的區間，著重考查了利用導數研究函數的單調性和函數零點的定義及其存在性討論等知識，屬于基礎題．