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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
下列命題中，正確的是
①②③
①②③

①平面向量
a
與
b
的夾角為60°，
a
=（2，0），|
b
|=1，則|
a
+
b
|=
7
；
②已知
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
）其中θ∈（π，
3π
2
）則
a
⊥
b
；
③O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：
OP
=
OA
+λ（
AB
sinC
+
AC
sinB
），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內心．
分析：①由
a
=(2，0)，求出|
a
|，在三個向量
a
，
b
，
a
+
b
構成的三角形中，運用余弦定理求|
a
+
b
|；
②寫出兩個向量的數量積，運用同角三角函數的基本關系式整理即可得到結論；
③把給出等式中的角的正弦值用對應邊長和外接圓半徑表示，移向整理后得即
AP
=2Rλ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)．
由此式可知直線AP一定通過△ABC的內心．
解答：解：①如圖，

因為
a
=（2，0），所以|
a
|=
22+02
=2，
a
+
b
對應的向量是以
a
和
b
為鄰邊的平行四邊形的對角線，
由余弦定理得：|
a
+
b
|=
|
a
|2+|
b
|2-2|
a
||
b
|cos120°
=
22+12-2×2×1×(-
1
2
)
=
7
，
所以①正確；
②由
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
），
則
a
•
b
=sinθ+
(1+cosθ)(1-cosθ)
=sinθ+
1-cos2θ
=sinθ+
sin2θ
=sinθ+|sinθ|，
因為θ∈（π，
3π
2
），所以sinθ＜0，
所以
a
•
b
=sinθ-sinθ=0，所以
a
⊥
b
，
所以②正確；
③如圖，


在△ABC中，由
|
AB
|
sinC
=
|
AC
|
sinB
=2R（R為三角形ABC外接圓半徑），所以sinC=
|
AB
|
2R
，sinB=
|
AC
|
2R
，
所以
OP
=
OA
+λ（
AB
sinC
+
AC
sinB
）=
OA
+λ(
2R
AB
|
AB
|
+
2R
AC
|
AC
|
)=
OA
+2Rλ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，
即
AP
=2Rλ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)．
所以直線AP一定通過△ABC的內心．
所以③正確．
故答案為①②③
點評：本題考查了命題的真假的判斷與運用，解答此題的關鍵是判斷③，需要掌握的是
a
|
a
|
表示
a
方向上的單位向量，此題是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

16、某紡織廠的一個車間有n（n＞7，n∈N）臺織布機，編號分別為1，2，3，…，n，該車間有技術工人n名，編號分別為1，2，3，…，n．定義記號aij，如果第i名工人操作了第j號織布機，此時規定aij=1，否則aij=0．則下列命題中所有正確的是
①④

①若第7號織布機有且只有一人操作，則a17+a27+a37+…+an7=1；
②若a11+a12+…+a1n+a21+a22+…+a2n=2，說明第1、2號工人各操作一臺織布機；
③若a11+a12+…+a1n+a21+a22+…+a2n=2，，說明第1、2號織布機有兩個工人操作；
④a31+a32+a33+…+a3n=2，說明3號工人操作了兩臺織布機．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中，正確的是（　�。�

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設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，下列命題中不正確的是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知α，β是平面，m，n是直線，則下列命題中不正確的是
②
②

①若m∥n，m⊥α，則n⊥α
②若m∥α，α∩β=n，則m∥n
③若m⊥α，m⊥β，則α∥β
④若m⊥α，m?β，則α⊥β

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