Question

已知S_n是正數數列{a_n}的前n項和，S₁²，S₂²、…、S_n²…，是以3為首項，以1為公差的等差數列；數列{b_n}為無窮等比數列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90．（1）求a_n、b_n；（2）從數列{}中能否挑出唯一的無窮等比數列，使它的各項和等于．若能的話，請寫出這個數列的第一項和公比？若不能的話，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據{S_n²}是以3為首項，以1為公差的等差數列求出通項公式，得到S_n，然后根據a_n=進行求解，根據{b_n}是等比數列，求出首項和公比即可求出b_n；
（2）設可以挑出一個無窮等比數列{c_n}，首項為c₁=（）^p，公比為（）^k，（p、k∈N），它的各項和等于=，建立等式關系，討論p和k的大小，從而求出滿足條件的等比數列．
解答：解：（1）{S_n²}是以3為首項，以1為公差的等差數列；所以S_n²=3+（n-1）=n+2
因為a_n＞0，所以S_n=（n∈N）（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-
又a₁=S₁=，所以a_n=（n∈N） （4分）
設{b_n}的首項為b₁，公比為q，則有（6分）
所以，所以b_n=3ⁿ（n∈N）（8分）
（2）=（）ⁿ，設可以挑出一個無窮等比數列{c_n}，首項為c₁=（）^p，公比為（）^k，（p、k∈N），它的各項和等于=，（10分）
則有，所以（）^p=[1-（）^k]，（12分）
當p≥k時3^p-3^p-k=8，即3^p-k（3^k-1）=8，因為p、k∈N，所以只有p-k=0，k=2時，
即p=k=2時，數列{c_n}的各項和為． （14分）
當p＜k時，3^k-1=8.3^k-p，因為k＞p右邊含有3的因數，而左邊非3的倍數，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比數列{c_n}，首項為，公比為，使它的各項和等于．（16分）
點評：本題主要考查了數列的通項公式，以及等比數列的求和等有關知識，屬于中檔題．