Question

已知(

4

x

-1)n=a0+

a1

x

+

a2

x2

+…+

an

xn

，(1+x)2n=b0+b1x+b2x2++b2nx2n(n∈N+)，記M=a₀+a₁+a₂+…+a_n，N=b₀+b₁+b₂+…+b_2n，則

lim

n→∞

2M-N

M+3N

的值是（　　）

• A．2
• B．-

  1

  3

• C．0
• D．

  2

  3

Answer 1

分析：通過二項式定理對x賦值，求出M，N，然后利用數(shù)列極限的運算方法求解所求極限即可．

解答：解：因為(

4

x

-1)n=a0+

a1

x

+

a2

x2

+…+

an

xn

．
所以當(dāng)x=1時，有(

4

1

-1)n=a0+

a1

1

+

a2

12

+…+

an

1n

，
即M=a₀+a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ，
因為（1+x）²ⁿ=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_2nx²ⁿ（n∈N₊），
所以當(dāng)x=1時，（1+1）²ⁿ=b₀+b₁+b₂+…+b_2n，
即N=b₀+b₁+b₂+…+b_2n=2²ⁿ=4ⁿ，
所以

lim

n→∞

2M-N

M+3N

=

lim

n→∞

2×3n-4n

3n+3×4n

=

lim

n→∞

2×( 3 4 )n-1

( 3 4 )n+3

=-

1

3

．
故選B．

點評：本題是中檔題，考查賦值法在二項式定理的應(yīng)用，數(shù)列極限的應(yīng)用，考查計算能力．