Question

（2011•西安模擬）設動圓P過點A（-1，0），且與圓B：x²+y²-2x-7=0相切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）設點Q（m，n）在曲線Ω上，求證：直線l：mx+2ny=2與曲線Ω有唯一的公共點；
（Ⅲ）設（Ⅱ）中的直線l與圓B交于點E，F，求證：滿足

AR

=

AE

+

AF

的點R必在圓B上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點A在圓B內，知動圓P與圓B（x-1）²+y²=8內切，由圓B的圓心是B（1，0），半徑r=2

2

，知PB=2

2

-PA，由此能求出動圓圓心P的軌跡Ω的方程．
（Ⅱ）由點Q（m，n）在曲線Ω上可知：m²+2n²=2．聯立直線l與曲線Ω的方程

mx+2ny=2 x2+2y2=2

，得x²-2mx+m²=0，由此能導出直線l與曲線Ω有唯一的公共點．
（Ⅲ）設點E，F的坐標分別為E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由題意知x₁，x₂是由直線l與圓B所得的方程組整理出的方程（m²+4n²）x²-4（m+2n²）x+4-28n²=0的兩個不同的實根，再由韋達定理求得|

BR

| =2

2

，故點R在圓B上．

解答：解：（Ⅰ）∵點A在圓B內，
∴動圓P與圓B（x-1）²+y²=8內切，
∵圓B的圓心是B（1，0），半徑r=2

2

，
∴PB=2

2

-PA，
即PA+PB=2

2

，
由橢圓定義知動圓圓心P的軌跡Ω的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由點Q（m，n）在曲線Ω上可知：

m2

2

+n2=1，即m²+2n²=2．
又聯立直線l與曲線Ω的方程

mx+2ny=2 x2+2y2=2

，
得（2m²+4n²）x²-8mx+8-8n²=0，
即x²-2mx+m²=0，
∵x²-2mx+m²=0的兩實根相等，
∴直線l與曲線Ω有唯一的公共點．
（Ⅲ）設點E，F的坐標分別為E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則由題意知x₁，x₂是由直線l與圓B所得的方程組

mx+2ny=2 x2+y2-2x-7=0

所得方程（m²+4n²）x²-4（m+2n²）x+4-28n²=0的兩個不同的實根，
∴x1+x2=

4(m+2n2)

m2+4n2

=

4(m+2-m2)

m2+4-2m2

=

4(m+1)

m+2

，
∵mx₁+2ny₁=2，mx₂+2ny₂=2，
∴y1+y2=

4-m(x1+x2)

2n

=

4(m+2)-4m(m+1)

2n(m+2)

=

4n

m+2

．
∴|

BR

|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2
=

16(m+1)2

(m+2)2

+

16n2

(m+2)2

=

16(m+1)2+16-8m2

(m+2)2

=8，
∴|

BR

| =2

2

，
故點R在圓B上．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．