Question

設函數f（x）=ax²+8x+3（a＜0），對于給定的負實數a，有一個最大正數l（a），使得
x∈[0，l（a）]時，不等式|f（x）|≤5都成立．
（1）當a=-2時，求l（a）的值；
（2）a為何值時，l（a）最大，并求出這個最大值，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：由題意（1）由于a=-2，代入函數f（x）=ax²+8x+3（a＜0），使得f（x）的解析式具體，畫出圖形即可；
（2）由題意及二次函數為開口向下的要使x∈[0，l（a）]時，不等式|f（x）|≤5都成立，利用分類討論的思想可以求解．
解答：解：（1）當a=-2，f（x）=-2x²+8x+3最大值11，
令|f（x）|=5只須考慮-2x²+8x+3=5
得x=2±．如圖，l（a）=2-．
（2）f（x）=ax²+8x+3，
∵a＜0，對稱軸，f（x）的最大值，
當即a＞-8時，取x²+8x+3=5得x=．
如圖，
當即a≤-8時，
取-（ax²+8x+3）=5得，
取
（當a=-8時取等號）
∴當a=-8時，l（a）最大，最大值是．
點評：此題考查了二次函數在閉區間上的最值，還考查了分類討論的思想及無理不等式的求解．