Question

已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周長為16．
（1）求點C軌跡L的方程；
（2）過O作直線OM、ON，分別交軌跡L于M、N點，且OM⊥ON，求S_△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下過O作OP⊥MN交于P點．求證點P在定圓上，并求該圓的方程．

Answer 1

分析：（1）利用A，B是定點，△ABC周長為16，可知點C軌跡為以A，B為焦點的橢圓（除去與x軸的兩個交點），故可求軌跡方程；
（2）顯然OM，ON斜率均存在．分別求出OM，ON的長，進而可表示面積，利用基本不等式可求S_△MON的最小值
（3）要證點P一定在定圓上，可證，OP為定長，從而得解．

解答：解：（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b²=a²-c²=16
∴點C的軌跡為：

x2

25

+

y2

16

=1  (y≠0)
（2）顯然OM，ON斜率均存在．設OM：y=kx，則ON：y=-

1

k

x
聯立OM與L可知：

x2

25

+

k2x2

16

=1⇒x2=

1

1 25 + k2 16

∴|OM|=

1+k2

•|x|=

1+k2 1 25 + k2 16

同理|ON|=

1+ 1 k2 1 25 + 1 16k2

=

1+k2 1 25 k2+ 1 16

∴S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

(1+k2)2 ( 1 25 + k2 16 )( k2 25 + 1 16 )

≥

1

2

•

1+k2

1 25 + k2 16 + k2 25 + 1 16 2

=

400

41

當且僅當：

1

25

+

k2

16

=

k2

25

+

1

16

時取“=”即k=±1時取“=”
∴S_△MON的最小值為

400

41

（3）由已知：|MN|=

|OM|2+|ON|2

=

1+k2 1 25 + k2 16 + 1+k2 k2 25 + 1 16

∴|OP|=

|OM|•|ON|

|MN|

=

1+k2 1 25 + k2 16 • 1+k2 1 25 k2+ 1 16

1+k2 1 25 + k2 16 + 1+k2 k2 25 + 1 16

=

400 41

=

20 41

41

∴點P一定在定圓x2+y2=

400

41

上．

點評：本題以三角形為載體，考查橢圓的方程，考查軌跡問題，考查利用基本不等式解決三角形的面積最小值，有一定的綜合性．