Question

若數列{a_n}滿足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常數），則稱數列{a_n}為二階線性遞推數列，且定義方程x²=px+q為數列{a_n}的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列{a_n}的通項公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有兩相異實根α，β，則數列通項可以寫成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常數）；
②若方程x²=px+q有兩相同實根α，則數列通項可以寫成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常數）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，進而求得a_n．根據上述結論求下列問題：
（1）當a₁=1，a₂=2，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N^*）時，求數列{a_n}的通項公式；
（2）當a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）時，若數列{a_n+1-λa_n}為等比數列，求實數λ的值；
（3）當a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）時，求S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ的值．

Answer 1

分析：（1）a_n+2=4a_n+1-4a_n的特征根方程為：x²-4x+4=0解得兩個相等的實根x₁=x₂=2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可知特征方程為：x²-5x+6=0，x₁=2，x₂=3．所以 a_n=c₁•2ⁿ+c₂•3ⁿ，由

c1•2+c2•3=5 c1•4+c2•9=13

得到c₁=c₂=1，所以 a_n=2ⁿ+3ⁿ，再通過分類討論能求出λ的值．
（3）由an=

1

5

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]，n∈N*，知S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+…+a_nC_nⁿ=

1

5

C

1 n

[(

1+ 5

2

)1-(

1- 5

2

)1]+

1

5

C

2 n

[(

1+ 5

2

)2-(

1- 5

2

)2]+

1

5

C

3 n

[(

1+ 5

2

)3-(

1- 5

2

)3]+…+

1

5

C

n n

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]，由此能求出S_n．

解答：解：（1）a_n+2=4a_n+1-4a_n的特征根方程為：
x²-4x+4=0，
解得兩個相等的實根x₁=x₂=2，…（3分）
所以設通項a_n=（c₁+c₂n）•2ⁿ，
由a₁=1，a₂=2可得：

(c1+c2)•2=1 (c1+2c2)•4=2

⇒

c1= 1 2 c2=0

，
所以a_n=2^n-1，n∈N^*…（6分）
（2）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可知特征方程為：
x²-5x+6=0，x₁=2，x₂=3…（8分）
所以 a_n=c₁•2ⁿ+c₂•3ⁿ，
由

c1•2+c2•3=5 c1•4+c2•9=13

，
得到c₁=c₂=1，
所以 a_n=2ⁿ+3ⁿ，…（9分）
因為{a_n+1-λa_n}是等比數列，
所以有（a₂-λa₁）•（a₄-λa₃）=（a₃-λa₂）²λ=2或λ=3…（10分）
當λ=2時，

an+1-2an

an-2an-1

=

2n+1+3n+1-2•2n-2•3n

2n+3n-2•2n-1-2•3n-1

=

3n

3n-1

=3
當λ=3時，同理可得 

an+1-3an

an-3an-1

=

2n+1+3n+1-3•2n-3•3n

2n+3n-3•2n-1-3•3n-1

=

2n

2n-1

=2
所以  λ=2或λ=3…（12分）
（3）同樣可以得到通項公式：an=

1

5

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]，n∈N*，…（14分）
所以S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+…+a_nC_nⁿ
=

1

5

C

1 n

[(

1+ 5

2

)1-(

1- 5

2

)1]+

1

5

C

2 n

[(

1+ 5

2

)2-(

1- 5

2

)2]+

1

5

C

3 n

[(

1+ 5

2

)3-(

1- 5

2

)3]+…+

1

5

C

n n

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]
=

1

5

[

C

1 n

(

1+ 5

2

)1+

C

2 n

(

1+ 5

2

)2+

C

3 n

(

1+ 5

2

)3+…+

C

n n

(

1+ 5

2

)n]-

1

5

[

C

1 n

(

1- 5

2

)1+

C

2 n

(

1- 5

2

)2+

C

3 n

(

1- 5

2

)3+…+

C

n n

(

1- 5

2

)n]
=

1

5

[(1+

1+ 5

2

)n-(1+

1- 5

2

)n]=

1

5

[(

3+ 5

2

)n-(

3- 5

2

)n]
即     Sn=

1

5

[(

3+ 5

2

)n-(

3- 5

2

)n]，  n∈N*…（18分）

點評：本題考查數列的通項公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．