Question

（1）設曲線C的參數方程為

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

，直線l的參數方程為

x=1+2t y=1+t

（t為參數），則直線l被曲線C截得的弦長為______．
（2）已知a，b為正數，且直線2x-（b-3）y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直，則2a+3b的最小值為______．

Answer 1

（1）曲線C的參數方程為

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

，
可得

3cosθ=x-2 3sinθ=y+1

，結合cos²θ+sin²θ=1，可得
曲線C的直角坐標方程為：（x-2）²+（y+1）²=9
它是以M（2，-1）為圓心，半徑為3的圓
∵直線l的參數方程為

x=1+2t y=1+t

（t為參數），
∴消去參數t得直線l的直角坐標方程為：x-2y+1=0
∴點M到直線l的距離為d=

|2-2×(-1)+1|

12+(-2)2

=

5

設直線l被曲線C截得的弦長為m，可得（

1

2

m）²+d²=R²=9
∴m=2

9-d2

=4
（2）∵直線2x-（b-3）y+6=0的斜率為k1=

2

b-3

，
直線bx+ay-5=0斜率為k2=-

b

a

，且兩互相垂直∴
∴k1k2=

2

b-3

•(-

b

a

)=-1?3a+2b=ab?

2

a

+

3

b

=1
∴2a+3b=(

2

a

+

3

b

)(2a+3b)=13+

6a

b

+

6b

a

∵a，b為正數
∴

6a

b

+

6b

a

≥2

6a b • 6b a

=12
當且僅當a=b=5時，等號成立，
可得2a+3b的最小值為13+12=25
故答案為：4，25