Question

（2011•新疆模擬）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F₁，F₂，已知線段F₁F₂被點（b，0）分成5：1兩段，則此雙曲線的離心率為

3 5

5

．

Answer 1

分析：根據題意，線段F₁F₂被點（b，0）分成5：1兩段，可得（b，0）到左焦點的距離等于雙曲線焦距的

5

6

，由此列式：c+b=

5

6

×|F1F2| =

5

3

c．再結合雙曲線中的平方關系：b²=c²-a²，代入消去b，得到a、c之間的關系式，從而得出此雙曲線的離心率．

解答：解：∵雙曲線左，右焦點分別為F₁，F₂，
∴|F₁F₂|=2c
∵線段F₁F₂被點（b，0）分成5：1兩段
∴c+b=

5

6

×|F1F2|=

5

6

×2c =

5

3

c
∴b=

2

3

c⇒b2=

4

9

c2
∵b²=c²-a²
∴c2-a2 =

4

9

c2⇒a2=

5

9

c2
∴a=

5

3

c⇒離心率e=

c

a

=

3

5

=

3 5

5

故答案為：

3 5

5

點評：本題以求雙曲線的離心率為例，考查了雙曲線中的基本概念與基本關系等雙曲線的簡單性質，屬于基礎題．