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已知數列的各項均為正數，記,,
 .
（1）若，且對任意，三個數組成等差數列，求數列的通項公式.
（2）證明：數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數組成公比為的等比數列.
（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）由三個數是等差數列，可得.根據定義可知即。變形為 ，由等差數列的定義可知，數列是首項為１，公差為４的等差數列。從而可得其通項公式。（2）若對于任意，三個組成公比為的等比數列，則，由得將上式變形整理根據等比數列的定義可證得數列是公比為的等比數列；若數列是公比為的等比數列，則對任意，有.根據已知可證得＝，從而三個數組成公比為的等比數列.
解: （1)因為對任意，三個數是等差數列，
所以.                             1分
所以,                                        2分
即.                                      3分
所以數列是首項為１，公差為４的等差數列.                   4分
所以.                                  5分
（2）（１）充分性：若對于任意，三個數組成公比為的等比數列，則
.                       6分
所以得    
即.                                       7分
因為當時，由可得，                   8分
所以.
因為，
所以.                                         
即數列是首項為，公比為的等比數列，                  9分
（２）必要性：若數列是公比為的等比數列，則對任意，有
.                                                 10分
因為，
所以均大于.于是
                 11分
               12分
即＝＝，所以三個數組成公比為的等比數列.   13分
綜上所述，數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數組成公比為的等比數列.                  14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知數列和的通項公式分別為，.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構成一個新數列記為.
(1)試寫出，，，的值，并由此歸納數列的通項公式； 
(2)證明你在（1）所猜想的結論.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（2011•重慶）設實數數列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．
（1）若a1，S2，﹣2a2成等比數列，求S2和a3．
（2）求證：對k≥3有0≤ak≤．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

關于數列有下列四個判斷：
①若成等比數列，則也成等比數列；②若數列{}既是等差數列也是等比數列，則{}為常數列；③數列{}的前n項和為，且，則{}為等差或等比數列；④數列{}為等差數列，且公差不為零，則數列{}中不會有，其中正確判斷的序號是______．（注：把你認為正確判斷的序號都填上）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知實數，且按某種順序排列成等差數列．
（1）求實數的值；
（2）若等差數列的首項和公差都為，等比數列的首項和公比都為，數列和的前項和分別為，且，求滿足條件的自然數的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在等差數列中，，，則公差_____；____.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

(2014·重慶模擬)已知等差數列{an}滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前6項的和S6=________.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且a1＝b1＝2，b4＝54，a1＋a2＋a3＝b2＋b3．
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)數列{cn}滿足cn＝anbn，求數列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

現有數列滿足：，且對任意的m，n∈N*都有：，則（   ）
A．B．C．D．

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