Question

如圖，曲線段C是函數（x≥0）的圖象，C過點P₁（1，1）．過P₁作曲線C的切線交x軸于Q₁點，過Q₁作垂直于x軸的直線交曲線C于P₂點，過P₂的切線交x軸于Q₂點，…，如此反復，得到一系列點Q₁，Q₂，…，Q_n，設Q_n（a_n，0）．
（1）求a₁；
（2）求a_n的表達式；
（3）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，求得過P₁切線方程，即可求得a₁；
（2）確定過的切線方程，利用直線過Q_n+1（a_n+1，0），可得a_n的表達式；
（3）證明，累加即可證得結論．
解答：（1）解：，則…（2分）
過P₁切線方程：，可得，則．    …（4分）
（2）解：，過的切線方程：，…（6分）
該直線過Q_n+1（a_n+1，0），則
化簡得，則…（8分）
（3）證明：，…（9分）
而4ⁿ+1＞2•2ⁿ=2ⁿ⁺¹，故…（11分）
所以==
所以…（14分）
點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列的通項，考查不等式的證明，確定數列的通項是關鍵．