Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁上的一個動點，平面BED₁交棱AA₁于點F．給出下列四個結論：
①存在點E，使得A₁C₁∥平面BED₁F；
②存在點E，使得B₁D⊥平面BED₁F；
③對于任意的點E，平面A₁C₁D⊥平面BED₁F；
④對于任意的點E，四棱錐B₁-BED₁F的體積均不變．
其中，所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據線面平行和線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性質分別進行判斷即可．

解答：解：①當E為棱CC₁上的一中點時，此時F也為棱AAC₁上的一個中點，此時A₁C₁∥EF；滿足A₁C₁∥平面BED₁F成立，∴①正確．
②∵B₁D⊆平面BED₁F，∴不可能存在點E，使得B₁D⊥平面BED₁F，∴②錯誤．
③連結D₁B，則D₁B⊥平面A₁C₁D，而B₁D⊆平面BED₁F，∴平面A₁C₁D⊥平面BED₁F，成立，∴③正確．
④四棱錐B₁-BED₁F的體積等于VD1-BB1F+VD1-B1BF，
設正方體的棱長為1，
∵無論E，F在何點，三角形BB₁E的面積為

1

2

×1×1=

1

2

為定值，三棱錐D₁-BB₁E的高D₁C₁=1，保持不變．
三角形BB₁F的面積為

1

2

×1×1=

1

2

為定值，三棱錐D₁-BB₁F的高為D₁A₁=1，保持不變．
∴三棱錐D₁-BB₁E和三棱錐D₁-BB₁F體積為定值，
即四棱錐B₁-BED₁F的體積等于VD1-BB1F+VD1-B1BF為定值，∴④正確．
故答案為：①③④

點評：本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的位置關系的判斷以及利用分割法求空間幾何體的體積的方法，綜合性較強，難度較大．