Question

設f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（1）求a的值，并討論f（x）的單調性；
（2）證明：當θ∈[0，

π

2

]時，|f(cosθ)-f(sinθ)|＜2．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，然后根據在x=1處的導數值等于其切線的斜率可求a的值，然后當f'（x）＜0時可求函數的單調遞減區間，當f'（x）＞0時可求函數的單調遞增區間．
（2）先確定函數f（x）在[0，1]單調增，求出最大值和最小值，故根據任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，將cosθ、sinθ代入即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）．
由條件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0?a=-1．
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故當x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f'（x）＜0；
當x∈（-2，1）時，f'（x）＞0．
從而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）單調減少，在（-2，1）單調增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]單調增加，
故f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=e，
最小值為f（0）=1．
從而對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．
而當θ∈[0，

π

2

]時，cosθ，sinθ∈[0，1]．
從而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．