Question

已知函數，其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）若直線是曲線的切線，求實數的值；

（3）設，求在區間上的最大值.（其中為自然對數的底數）

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調遞減區間是，單調遞增區間是

（2）

（3）當時，最大值為，

當時， 的最大值為

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用.

(1) 因為 函數，其中.求導函數，得到函數的單調區間；

（2）因為直線是曲線的切線，設切點坐標，利用導數表示出切線方程，利用對應相等得到，實數的值；

(3) ，則，解，得，所以，在區間上，為遞減函數，在區間上，為遞增函數.然后分類討論得到結論。

解：（1），

在區間上，；在區間上， .

所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是

（2）設切點坐標為，則  解得.

（3），則，解，得，

所以，在區間上，為遞減函數，在區間上，為遞增函數.

當，即時，在區間上，為遞增函數，

所以最大值為.

當，即時，在區間上，為遞減函數，

所以最大值為.

當，即時，的最大值為和中較大者；

，解得，

所以，時，最大值為，

時， 最大值為.

綜上所述，當時，最大值為，

當時， 的最大值為.