Question

 (本題滿分12分)

如圖,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,BC＝4,,AA₁＝4,.點D是AB的中點．

       (1)求證：AC⊥BC₁；

    (2)求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

(2)解法一:

過作于,則E為BC的中點，過E做EF^B₁C于F,連接DF,

   

是中點，∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴ , 

∴平面，平面∴

∴是二面角的平面角 ………9分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴在中，，，

∴           [來源:Zxxk.Com]

∴二面角的正切值為            ………12分

解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系………6分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

設平面的法向量，

則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角的大小

則由   令，則，

∴                                    ……………10分

，則  ………11分

∵二面角是銳二面角

∴二面角的正切值為               …………… 12分