Question

函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．對函數f（x）=[x]有以下的判斷：
①若x∈[1，2]，則f（x）的值域為{0，l，2}；
②f（x+1）=f（x）+1；
③f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
④g（x）=x-f（x）是一個周期函數．
其中正確的判斷有    （只填序號）．

Answer 1

【答案】分析：根據函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，故x∈[1，2]時，f（x）=1或f（x）=2，進而判斷①；根據x+1與x小數部分相同，整數部分相差1，可判斷②；令x₁=x₂=3.5，舉出反倒，可判斷③；根據g（x）=x-f（x）的函數值是自變量x的小數部分，進而可判斷其周期為1，可判斷④
解答：解：∵函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，
∴①若x∈[1，2]，則f（x）的值域為{l，2}，故①錯誤；
②x+1與x小數部分相同，整數部分相差1，故f（x+1）=f（x）+1，故②正確；
③當x₁=x₂=3.5時，f（x₁+x₂）=f（7）=7，f（x₁）+f（x₂）=3+3=6，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）不成立，故③錯誤；
④g（x）=x-f（x）的函數值是自變量x的小數部分，故是一個周期為1的周期函數，故④正確
故正確的判斷有②和④
故答案為：②④
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的值域，函數的周期性，函數值，正確理解函數f（x）=[x]的含義是解答的關鍵．