Question

設x=1和x=2是函數f（x）=x⁵+ax³+bx+1的兩個極值點．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用函數的導數在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（Ⅱ）將a，b的值代入導函數，令導函數大于0求出解集為遞增區間；令導函數小于0，求出解集為遞減區間．

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=5x⁴+3ax²+b
由假設知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0
解得a=-

25

3

，b=20
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x⁴-4）=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）
當x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0
當x∈（-2，-1）∪（1，2）時，f′（x）＜0
因此f（x）的單調增區間是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞）
f（x）的單調減區間是（-2，-1），（1，2）

點評：本題考查函數的極值點處的導數值為0、考查函數的單調性與導函數的符號有關：導函數大于0時，函數遞增；導函數小于0時，函數遞減．