Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB_l∥AC．動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C出發沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；
（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值；
（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經軸對稱變換后的圖形為A′C′．
①當t＞

3

5

時，連接C′C，設四邊形ACC′A′的面積為S，求S關于t的函數關系式；
②當線段A′C′與射線BB，有公共點時，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

解（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當AD=AB時，5t=5，∴t=1．
∴AE=AC+CE=3+3t=6，∴DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點∴GE=2．
當AD＜AE（即t＜

3

2

）時，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG∽△ACB，則

DE

EG

=

AC

BC

，
若△DEG∽△BCA，則

DE

EG

=

BC

AC

．
即有

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

成立，
∴t=

3

4

或t=

1

6

．
當AD＞AE．（即t＞

3

2

）時，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3．，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

．
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

．
所以t=

9

4

或t=

17

6

．
綜上得，當t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

時．△DEG∽△ACB．
（3）①由軸對稱變換得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，
∴AA′∥CC′．易知OC≠AH故AA′≠CC′，
所以四邊形ACC′A′是梯形．

∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°．
∴△AHD∽△ACB．∴

AH

AC

=

DH

BC

=

AD

AB

．
∴AH=3t，DH=4t
．∵sin∠ADH=sin∠CDO
∴

AH

AD

=

CO

CD

，即

3

5

=

CO

5t-3

∴CO=3t-

9

5

．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-

18

5

．
∵OD=CD•cos∠CD0=（5t-3）×

4

5

=4t-

12

5

．
∴OH=DH-OD=

12

5

．
∴S=

1

2

（AA′+CC′）•OH=

1

2

（6t+6t-

18

5

）×

12

5

=

72

5

t-

108

25

．
②當A′在BB′上時，A′和點B重合時，AH=

1

2

AB=

5

2

．此時cos∠BAC=

AH

AD

=

AC

AB

，得AD=

AH•AB

AC

=

25

6

=5t，∴t=

5

6

；
當C′在BB′上時，此時CC′=AB=5，∴CC′=6t+6t-

18

5

=5，t=

33

30

=

11

10

．
故當線段A′C′與射線BB′有公共點時所求t∈[

5

6

，

11

10

]．