Question

已知圓的圓心在坐標原點O，且恰好與直線相切.

(1)求圓的標準方程；

(2)設點A為圓上一動點，AN軸于N，若動點Q滿足（其中m為非零常數），試求動點的軌跡方程.

(3)在（2）的結論下，當時，得到動點Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點，求面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)求圓的方程，已經已知圓心坐標，只要再求得圓的半徑即可，而圓心的半徑等于圓心到切線的距離；（2）本題動點可以看作是由動點的運動成生成的，因此可以用動點轉移法求點的軌跡方程，具體方法就是設，，利用條件，求出與的關系，并且用來表示，然后把代入（1）中圓的方程，就能求得動點為的軌跡方程；（3）時，曲線的方程為，直線與垂直，其方程可設為，這條直線與曲線相交，由此可求得的取值范圍，而的面積應該表示為的函數，然后利用函數的知識或不等式的知識求得最值.

試題解析：(1)設圓的半徑為,圓心到直線距離為，則

所以，圓的方程為

（2）設動點,,軸于,

由題意,，所以 即: ，

將代入,得動點的軌跡方程.

（3）時,曲線方程為，設直線的方程為

設直線與橢圓交點

聯立方程得

因為，解得，且

又因為點到直線的距離 

 .（當且僅當即

時取到最大值）面積的最大值為.

考點：（1）圓的方程；（2）動點轉移法求軌跡方程；（3）直線與橢圓相交，面積的最值問題.