Question

如圖直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，E，F是AB邊的四等分點，AB=4，BC=BF=AE=1，AD=3，P為在梯形區域內一動點，滿足PE+PF=AB，記動點P的軌跡為Γ．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求軌跡Γ在該坐標系中的方程；
（2）判斷軌跡Γ與線段DC是否有交點，若有交點，求出交點位置；若沒有交點，請說明理由；
（3）證明D，E，F，C四點共圓，并求出該圓的方程．

Answer 1

分析：（1）取AB中點為O，以O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，結合已知及橢圓的定義，可得動點P的軌跡為以E，F焦點，長軸長為4的上半橢圓，進而得到軌跡Γ在該坐標系中的方程；
（2）在（1）所建立的坐標系中，求出直線DC的方程，代入橢圓方程后，判斷方程解的組數，可得結論；
（3）解法一：記y軸與DC交點為G，由y軸是EF的中垂線，即|GE|=|GF|，結合OG為直角梯形中位線，|GD|=|GC|，求出G點坐標進而可得四邊形DEFC外接圓方程；
（3）解法二：要證D，E，F，C四點共圓，設圓心為G．即證：|GD|=|GE|=|GF|=|GC|，進而可得四邊形DEFC外接圓方程．

解答：解：（1）取AB中點為O，以O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，…（1分）
那么A（-2，0），E（-1，0），F（1，0），B（2，0）
由于PE+PF=AB=4，且EF=2＜4…（2分）
那么動點P的軌跡為以E，F焦點，長軸長為4的上半橢圓，
那么橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1 (0≤y≤

3

)…（4分）
（2）在（1）所建立的坐標系中，點D（-2，3），C（2，1）
由兩點式得到直線DC的方程為：x+2y-4=0，…（6分）
把x=4-2y代入橢圓方程并整理得4y²-12y+9=0，解得y=

3

2

…（8分）
因為0＜

3

2

＜

3

軌跡Γ與線段DC有且只有一個交點（1，

3

2

），…（9分）
（3）記y軸與DC交點為G，由于y軸是EF的中垂線，那么|GE|=|GF|
又OG為直角梯形中位線，則|GD|=|GC|，且OG=

1

2

(AD+BC)=2，故G點坐標為（0，2）（10分）
計算可得|GC|=

5

 ， |GF|=

5

，故DEFC四點共圓，…（12分）
且該圓以G（0，2）為圓心，半徑為

5

故圓的方程為x²+（y-2）²=5…（14分）
（3）另解：要證D，E，F，C四點共圓，設圓心為G．即證：|GD|=|GE|=|GF|=|GC|．
由EF的垂直平分線：x=0，DC的垂直平分線：2x-y+2=0…（10分）
聯立方程組

x=0 2x-y+2=0

解得

x=0 y=2

，即G（0，2）…（12分）
又|GE|=

12+22

=

5

，|GC|=

(0-1)2+22

=

5

所以，圓G的方程為x²+（y-2）²=5…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，圓的標準方程，橢圓的標準方程，熟練掌握橢圓的定義，直線與橢圓的交點個數判定方法及圓的標準方程是解答的關鍵．