Question

若矩陣A有特征值λ₁=2,λ₂=-1,它們所對應的特征向量分別為e₁=和e₂=.
(1)求矩陣A.
(2)求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程.

Answer 1

(1) A=  (2) +y²=1

(1)設A=,由Ae₁=λ₁e₁,Ae₂=λ₂e₂得
=2=,
=-1×=,
∴∴A=.
(2)設曲線x²+y²=1上任意一點(x,y)在矩陣A對應的變換作用下得到的點為(x',y'),
則=,即
所以從而(x')²+(-y')²=1,
即+y'²=1,
∴所求新曲線方程為+y²=1.