Question

設函數f(x)=2cos2ωx+sin(2ωx-

π

6

)+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在區間[

π

6

，

π

3

]上的最小值為

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用輔助角公式把函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，由五點作圖法可知，當函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖象位于最高點時，ωx+φ=

π

2

，因為此時x=

π

6

，代入函數解析式，就可求出ω的值．
（2）先根據x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，借助基本正弦函數的單調性，就可帶著參數a求出函數f(x)=sin(2x+

π

6

)+1+a的最小值，再與所給函數的最小值比較，就可求出a的值．

解答：解：（1）由題意f(x)=1+cos2ωx+sin(2ωx-

π

6

)+a
=1+cos2ωx+（sin2ωxcos

π

6

-cos2ωxsin

π

6

）+a
=1+cos2ωx+

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+a
=1+

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+a
=1+sin

π

6

cos2ωx+cos

π

6

sin2ωx+a
=sin(2ωx+

π

6

)+1+a
∵f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．
∴當x=

π

6

時，ωx+φ=

π

2

，
即2ω×

π

6

+

π

6

=

π

2

，
∴ω=1．
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x+

π

6

)+1+a，
∵

π

6

≤x≤

π

3

∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴當2x+

π

6

=

5π

6

時，f(x)min=

1

2

+1+a=

3

2

+a
又∵f（x）在區間[

π

6

，

π

3

]上的最小值為

3

∴

3

2

+a=

3

解之得a=

3

-

3

2

，
∴a的值為

3

-

3

2

點評：本題主要考查根據三角函數的性質求解析式和最值，關鍵是先把所給函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再借助基本正弦函數的性質解決．