Question

已知直線l：y＝kx＋k＋1，拋物線C：y²＝4x，和定點M(1，1)．

(1)當直線經過拋物線焦點F時，求點M關于直線l的對稱點N的坐標，并判斷點N是否在拋物線C上

(2)當k變化(k¹ 0)且直線l與拋物線C有公共點時，設點P(a，1)關于直線l的對稱點為Q(x₀，y₀)，求x₀關于k的函數關系式x₀＝f(k)．并求P與M重合時，x₀的取值范圍

Answer 1

答案：
解析：

由焦點F(1，0)在l上，得k＝－，∴l：y＝－x＋　　1分 　　設點N(m，n)，則有：，　　2分 　　解得，∴N(，－)．　　2分 　　∵≠(－)2，∴N點不在拋物線C上．　　2分 　　(2)把直線方程代入拋物線方程得：k2x2＋2(k2＋k－2)x＋(k＋1)2＝0， 　　∵相交，∴△＝4[(k＋2)(k－1)]2－4k2(k＋1)2＝6(－k2－k＋1)³ 0， 　　解得≤k≤且k≠0．　　2分 　　由對稱得， 　　解得x0＝(≤k≤，且k≠0)．　　2分 　　當P與M重合時，a＝1， 　　∴f(k)＝x0＝＝－3＋(£ k£ ，且k≠0)， 　　∵函數x0＝f(k)(kÎ R)是偶函數，且k＞0時單調遞減． 　　∴當k＝時，(x0)min＝，， 　　∴x0Î [，1)．　　3分