Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，

Sn

是

1

4

與(an+1)2的等比中項．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）要證明數列{a_n}為等差數列，需證明a_n-a_n-1=d，由已知條件可得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，即可得出結論；
（2）證明數列{b_n+3}是以4為首項，2為公比的等比數列，即可求數列{b_n}的通項公式．

解答：（1）證明：∵

Sn

是

1

4

與(an+1)2的等比中項，
∴S_n=

1

4

(an+1)2，
∴n≥2時，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
兩式相減可得a_n=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
化簡可得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∵S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，
∴數列{a_n}以1為首項，以2為公差的等差數列；
（2）解：∵b_n=2b_n-1+3，
∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∵b₁=a₁=1，∴b₁+3=4，
∴數列{b_n+3}是以4為首項，2為公比的等比數列，
∴b_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3．

點評：本題考查等差數列、等比數列的證明，考查學生的計算能力，求解的關鍵是要把握遞推公式的轉化．