Question

（1）已知矩陣M=

0 1

1 0

，N=

0 1

-1 0

．在平面直角坐標系中，設直線2x-y+1=0在矩陣MN對應的變換作用下得到的曲線F，求曲線F的方程．
（2）在極坐標系中，已知圓C的圓心坐標為C （2，

π

3

），半徑R=

5

，求圓C的極坐標方程．
（3）已知a，b為正數，求證：

1

a

+

4

b

≥

9

a+b

．

Answer 1

分析：（1）利用矩陣的乘法法則求出MN，設出已知直線的一點坐標（x，y），求出這點在矩陣MN對應變換下的坐標（x'，y'）與設出坐標
（x，y）的關系，分別求出x^′和y^′，代入已知直線方程即可得到曲線F的方程；
（2）將圓心極坐標化為普通坐標，根據半徑寫出圓的標準方程，然后令x等于ρcosθ，y等于ρsinθ，代入化簡即可得到圓C的極坐標方程；（3）由a與b都為正數，給不等式的左邊乘以（a+b），去括號化簡后，利用基本不等式求出最小值，然后把不等式變形即可得證．

解答：解：（1）由題設得MN=

0 1 1 0

•

0 -1 1 0

=

1 0

0 -1

，
設（x，y）是直線2x-y+1=0上任意一點，
點（x，y）在矩陣MN對應的變換作用下變為（x'，y'），
則有

1 0 0 -1

x y

=

x′ y′

，即

x -y

=

x′ y′

，所以

x=x′ y=-y′

因為點（x，y）在直線2x-y+1=0上，從而2x'-（-y'）+1=0，即：2x'+y'+1=0
所以曲線F的方程為2x+y+1=0；
（2）將圓心C（2，

π

3

）化成直角坐標為（1，

3

），半徑R=

5

，
故圓C的方程為（x-1）²+（y-

3

）²=5．
再將C化成極坐標方程，得（ρcosθ-1）²+（ρcosθ-

3

）²=5．
化簡，得ρ²-4ρcos（θ-

π

3

）+1=0，此即為所求的圓C的方程；
（3）證明：∵a＞0，b＞0，所以(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a × 4a b

=9
∴

1

a

+

4

b

≥

9

a+b

點評：此題考查學生會求一點在矩陣變換下的坐標，會根據條件求圓的極坐標方程，靈活運用基本不等式化簡求值，是一道綜合題．