Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標系，分別求出異面直線AE和BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線AE和BF所成角的余弦值；
（2）分別求出平面BDD₁與平面BFC₁的法向量，代入向量夾角公式，我們可以求出平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的余弦值，進而根據同角三角函數關系，可以求出平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的正弦值．

解答：解：以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C₁（2，2，2）
（1）則

AE

=（0，1，2），

BF

=（-1，0，2）
設異面直線AE和BF所成角為θ
則cosθ=|

AE • BF

| AE |•| BF |

|=

4

5

即異面直線AE和BF所成角的余弦值為

4

5

（2）∵

AB

=（2，0，0）為平面BDD₁的一個法向量，
設向量

n

=(x，y，z)為平面BFC₁的一個法向量
則

n • BF =0 n • BC1 =0

，即

-x+2z=0 2y+2z=0

令z=1，則向量

n

=(2，-1，1)為平面BFC₁的一個法向量
∵cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n |•| AB |

=

6

3

∴sin＜

n

，

AB

＞=

3

3

∴平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的正弦值為

3

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標系，將二面角問題及異面直線夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．