Question

已知圓.（14分）
(1)此方程表示圓，求m的取值范圍；
(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且(O為坐標原點)，求m的值；
(3)在(2)的條件下，求以為直徑的圓的方程．

Answer 1

(1) (2) (3)

解析試題分析：（1）把方程化為圓的標準方程為，故有，由此解得的范圍．
（2）由直線方程與圓的方程聯立消,把直線代入圓的方程化簡到關于的二次方程,設．∵，故 ①，利用根與系數的關系可得,，代入①求得的值.
（3）由(2)可以求出兩點的坐標,由兩點間距離公式可以求出線段的長度,再由中點公式可以求出圓心．可以得到以直徑的圓的方程．當然也可以圓的直徑式直接寫出圓的方程.
試題解析：
(1)方程，可化為
，
∵此方程表示圓，
∴，即.
(2)
消去得，
化簡得.
設，則

由得
即，
∴.
將兩式代入上式得
，
解之得.
(3)由，代入，
化簡整理得，解得.
∴.
∴，
∴的中點C的坐標為.
又，
∴所求圓的半徑為.
∴所求圓的方程為.
考點：圓的一般方程;二元二次方程表示圓的條件；圓的標準方程；直線與圓的位置關系.