Question

（2012•河南模擬）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點M，試問k_MA+k_MB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數，得到橢圓的標準方程；
（Ⅱ）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍；
（Ⅲ）由方程可得到兩根之和、兩根之積，從而可求直線MA，MB斜率之和，化簡可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵

c

a

=

3

2

，∴

b

a

=

1

2

，-----------------------------------------------------（2分）
依題意設橢圓方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1
把點（4，1）代入，得b²=5
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1---------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）把y=x+m代入橢圓方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
由△＞0可得64m²-20（4m²-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，-----------------------（8分）
∴k_MA+k_MB=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

2x1x2-(m-5)(x1+x2)-8(m-1)

(x1-4)(x2-4)

=0，
∴k_MA+k_MB為定值0．------------------（12分）

點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，體現了等價轉化的數學思想．