Question

二次函數f（x）=x²+2ax+2a+1．
（1）若對任意x∈R有f（x）≥1恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）討論函數f（x）在區間[0，1]上的單調性；
（3）若對任意的x₁，x₂∈[0，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0對任意x∈R恒成立，據二次函數性質有△≤0，解出即可；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=-a，按對稱軸x=-a與區間[0，1]的位置關鍵分三種情況討論即可；
（3）|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立等價于f（x）_max-f（x）_min≤1，由（2）分情況求得其最大值、最小值即可得一不等式，解出即得a的范圍．

解答：解：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0對任意x∈R恒成立，
∴△=4a²-8a≤0，解得0≤a≤2，
∴a的范圍是[0，2]；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=-a，
討論：①當-a≤0即a≥0時，f（x）在區間[0，1]上單調遞增；
②當0＜-a＜1即-1＜a＜0時，f（x）在區間[0，-a]上單調遞減，在區間[-a，1]上單調遞增；
③當-a≥1即a≤-1時，f（x）在區間[0，1]上單調遞減．
（3）由題意知，|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立等價于f（x）_max-f（x）_min≤1，
f（0）=2a+1，f（1）=4a+2，f（-a）=-a²+2a+1，
由（2），

a≥0 f(1)-f(0)≤1

或

-1＜a＜0 f(1)-f(-a)≤1或f(0)-f(-a)≤1

或

a≤-1 f(0)-f(1)≤1

，
解得-1≤a≤0．

點評：本題考查二次函數的性質及函數恒成立問題，考查分類討論思想，對于函數恒成立問題，往往轉化為函數最值問題加以解決，屬中檔題．