Question

（本題滿分14分）

若等差數列的前項和為，且滿足為常數，則稱該數列為數列．

（1）判斷是否為數列？并說明理由；

（2）若首項為且公差不為零的等差數列為數列，試求出該數列的通項公式；

（3）若首項為，公差不為零且各項為正數的等差數列為數列，正整數滿足，求的最小值

 

Answer 1

【答案】

 (1)它為數列 ；(2) ,其中.

（3）最小值為，當且僅當取等號

【解析】

試題分析：（1）由等差數列的通項公式找出等差數列的首項和公差，然后利用等差數列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，求出等于為常數，所以得到該數列為S數列；

（2）設此數列的公差為d，根據首項和公差，利用等差數列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，因為此數列為S數列，得到 等于常數，設比值等于k，去分母化簡后得到關于n的一個多項式等于0，令其系數和常數項等于0即可求出k和d值，根據首項和公差d寫出該數列的通項公式即可．

（3）根據已知條件首項為a₁的各項為正數的等差數列{a_n}為S數列，設n+h=2008，利用基本不等式求出的最小值．

解：(1)由,得，所以它為數列

(2)假設存在等差數列,公差為,則

(常數)

化簡得

① 

由于①對任意正整數均成立,則

解得:  ，故存在符合條件的等差數列.

其通項公式為: ,其中.

（3）

其最小值為，當且僅當取等號

考點：本試題主要考查了等差數列和數列求和的問題，是一道綜合題。

點評：解決該試題的關鍵是學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，掌握題中的新定義并會利用新定義化簡求值。