Question

（本小題滿分12分）
已知函數的定義域是，對于任意的，有，且當時，．
（Ⅰ）驗證函數是否滿足上述這些條件；
（Ⅱ）你發現這樣的函數還具有其它什么樣的主要性質？試就函數的奇偶性、單調性的結論寫出來，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，即其定義域為；………………………… 2分
又，
，
有成立；……………………………………………………… 4分
又當時，，∴　，有成立；
∴　綜上：滿足這些條件．……………………………………………… 6分
（Ⅱ）發現這樣的函數在上是奇函數．…………………………………………7分
∵　代入條件得，，
∵　代入條件得，，
∴　函數在上是奇函數．　…………………………………………………9分
又發現這樣的函數在上是減函數．　…………………………………………10分
∵，
當時，，由條件知，
即，
∴　函數在上是減函數．……………………………………………………12分

略