Question

已知二次函數，直線，直線（其中，為常數）；.若直線₁、₂與函數的圖象以及、軸與函數的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示.

（Ⅰ）求、、的值；

（Ⅱ）求陰影面積關于的函數的解析式；

（Ⅲ）若問是否存在實數，使得的圖象與的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（I）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且的最大值為16

則，

∴函數的解析式為

（Ⅱ）由得

∵0≤t≤2，∴直線與的圖象的交點坐標為（

由定積分的幾何意義知：

 

（Ⅲ）令

因為，要使函數與函數有且僅有2個不同的交點，

則函數的圖象與軸的正半軸有且只有兩個不同的交點

∴=1或=3時，

當∈（0，1）時，是增函數，當∈（1，3）時，

是減函數，當∈（3，+∞）時，是增函數。

 

又因為當→0時，；當

所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

即， ∴或

∴當或時，函數與的圖象有且只有兩個不同交點。